Giải bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

(y{rm{ }} = {rm{ }}2{rm{ }} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}{x^3});

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm ({{x}_{i}}) mà tại đó đạo hàm có (y'=0) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: (yleft( {{x}_{i}} right).)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ((mathop {lim }limits_{x to pm infty } y,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} y) )

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: (x=0Rightarrow y=....Rightarrow Aleft( 0; ..... right).)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (y=0Rightarrow x=.....Rightarrow Bleft( ...;0 right).)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

(y=2+3x-{{x}^{3}}.)

1) TXĐ: (D=R.)

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: (y'=3-3{{x}^{2}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0) (Leftrightarrow left[ begin{align}& x=1 & x=-1 end{align} right..)

Trên khoảng (left( -1; 1 right), y'>0) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng (left( -infty ;-1 right)) và (left( 1;+infty right)) có (y'<0) nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại (x=1; {{y}_{CD}}=yleft( 1 right)=4.) Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1; {{y}_{CT}}=yleft( -1 right)=0.)

+) Giới hạn vô cực:

(begin{array}{l}mathop {lim }limits_{x to - infty } y = mathop {lim }limits_{x to - infty } left( {2 + 3x - {x^3}} right) = mathop {lim }limits_{x to - infty } {x^3}.left( {frac{2}{{{x^3}}} + frac{2}{{{x^2}}} - 1} right) = + infty mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2 + 3x - {x^3}} right) = mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^3}.left( {frac{2}{{{x^3}}} + frac{2}{{{x^2}}} - 1} right) = - infty end{array})

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Ta có: (2+3x-{{x}^{3}}=0Leftrightarrow left[ begin{align} & x=2 & x=-1 end{align} right..)

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm (left( 2; 0 right)) và (left( -1; 0 right).)

Ta có: (y''=-6x); (y''=0 ⇔ x=0). Với (x=0) ta có (y=2). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (I(0;2)) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ (x=-2) suy ra (y=4).