Công thức tính góc giữa 2 vecto và bài tập áp dụng (có đáp án)

Vecto và những vấn đề liên quan đến vecto là những khía cạnh được đề cập nhiều trong Toán học. Một trong số đó là cách tìm góc giữa 2 vecto. Vậy, góc giữa 2 vecto là gì? Góc giữa 2 vecto có những đặc điểm nào? Làm sao để tìm được góc giữa 2 vecto? Để có thể tìm được câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Định nghĩa góc giữa 2 vecto

+ Cho hai vecto và là các vecto khác vecto-không.

+ Từ một điểm O bất kì, ta vẽ các vecto như sau: .

+ Lúc này, là góc giữa hai vecto và .

+ Góc giữa hai vecto và được kí hiệu là: ()

2. Một số đặc trưng của góc giữa 2 vecto

+ Góc giữa hai vecto có số đo từ 0o đến 180o.

+ Khi một trong hai vecto hoặc là vecto-không thì ta xem góc giữa hai vecto là tùy ý nhưng vẫn trong khoảng từ 0o đến 180o.

+ Nếu góc giữa hai vecto và bằng 90o thì hai vecto và được gọi là vuông góc với nhau và được kí hiệu: .

+ Góc giữa hai vecto và bằng góc giữa hai vecto và .

3. Công thức tính góc giữa 2 vecto

+ Giả sử = (x1; y1), = (x2; y2). Lúc này, để tính góc giữa 2 vecto và chúng ta cần tìm:

cos() =

+ Có cos() ta suy ra ().

(Chúng ta ấn máy tính SHIFT ⇒ COS ⇒ GIÁ TRỊ VỪA TÍNH ⇒ = để có thể tìm được góc giữa 2 vecto)

4. Cách tìm góc giữa 2 vecto

4.1. Tìm góc giữa 2 vecto khi 2 vecto đã có chung gốc

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có = 25o. Tìm góc giữa hai vecto và .

Giải

+ và là hai vecto có chung gốc B nên ta có:

() = = 25o.

Vậy, góc giữa hai vecto và là 25o.

4.2. Tìm góc giữa 2 vecto khi 2 vecto không chung gốc

* Phương pháp: Đưa hai vecto đề bài đã cho ban đầu về hai vecto có chung gốc.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có = 25o. Tìm góc giữa hai vecto và .

Giải

+ Do và là hai vecto không cung gốc nên để tính góc giữa và , ta cần dựng thêm vecto phụ.

+ Trên tia đối của tia BC lấy điểm C' sao cho BC = BC'. Lúc này, và là hai vecto bằng nhau do có cùng hướng và cùng độ lớn.

+ Ta có: () = () = = 180o - 25o = 155o.

Vậy, góc giữa hai vecto và là 155o.

4.3. Tìm góc giữa 2 vecto khi biết tọa độ của 2 vecto

* Phương pháp: Để tìm góc giữa hai vecto khi biết tọa độ của hai vecto ta cần thực hiện các bước sau đây:

+ Tính .

+ Tính ||.

+ Tính ||.

+ Tính .

+ Suy ra góc giữa hai vecto và .

Ví dụ: Cho = (1; 2), = (0; 1). Tính góc giữa 2 vecto và (kết quả làm tròn đến độ).

Giải

+ Ta có:

+ Trong đó:

= 1.0 + 2.1 = 2;

|| = ;

|| = = 1.

Do đó,

Suy ra: () = 27o.

Vậy, góc giữa hai vecto và là 27o.

4.4. Tìm góc giữa 2 vecto khi biết độ dài của 2 vecto

* Phương pháp: Để tìm góc giữa hai vecto khi biết độ dài của hai vecto, ta có thể phối hợp các phương pháp sau:

+ Bình phương hai vế.

+ Thế giá trị tương ứng đã có hoặc đã tìm được vào một biểu thức.

Ví dụ: Biết || = 2, || = 1 và || = 2. Tính góc giữa 2 vecto và .

Giải

+ Ta có:

Suy ra:

+ Theo đề bài: || = 2, bình phương cả hai vế ta có:

(||) = 4

= 4

= 4

= 4 - -

= 4 - 4 - 4.1

= - 4

= - 1

+ Ta có:

Suy ra: () = 120o.

Vậy, góc giữa hai vecto và là 120o.

5. Bài tập tính góc giữa 2 vecto lớp 11

Bài 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Góc giữa hai vecto có độ lớn nằm trong khoảng từ 0o đến 90o.
2. Khi góc giữa hai vecto bằng 180o thì hai vecto được gọi là hai vecto vuông góc.
3. Góc giữa hai vecto và được kí hiệu là ().
4. Góc giữa hai vecto và khác với góc giữa hai vecto và .

+ Câu A sai vì góc giữa hai vecto có độ lớn nằm trong khoảng từ 0o đến 180o.

+ Câu B sai vì khi góc giữa hai vecto bằng 90o thì hai vecto được gọi là hai vecto vuông góc.

+ Câu D sai vì góc giữa hai vecto và bằng với góc giữa hai vecto và .

Chọn câu C

Bài 2: Cho = (- 2; 3), = (1; 1). Hãy cho biết giá trị của góc giữa hai vecto và khi làm tròn đến độ là:

1. () = 35o.
2. () = 79o.
3. () = 68o.
4. Cả A, B, C đều sai.

+ Ta có:

|| = ;

|| = ;

= (- 2).1 + 3.1 = 1.

+ Ta có:

Suy ra góc giữa hai vecto và là 79o.

Chọn câu B

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có = 25o. Góc giữa hai vecto và là:

1. 25o.
2. 155o.
3. 65o.
4. Cả A, B, C đều sai.

Hai vecto đề bài yêu cầu tính góc giữa là hai vecto chung gốc.

Góc giữa hai vecto và là:

() = = 180o - (90o + 25o) = 65o.

Chọn câu C

Bài 4: Biết || = 1, || = 2 và = 1. Lúc này, ta có thể kết luận góc giữa 2 vecto và là:

1. Chưa đủ điều kiện để xác định
2. 30o
3. 60o
4. 180o

Ta có:

Suy ra góc giữa hai vecto và là 60o.

Chọn câu C

Bài 5: Biết rằng || = 2, || = 1, || = 1. Hãy cho biết trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:

1. Góc giữa hai vecto và là góc vuông.
2. Góc giữa hai vecto và là góc nhọn.
3. Góc giữa hai vecto và là góc tù.
4. Góc giữa hai vecto và là góc bẹt.

+ Theo đề bài, ||= 2. Thực hiện bình phương hai vế, ta có:

||2 = 4

= 4

= 4

12 - + 12 = 4

= 2

= - 1

+ Ta có:

Suy ra góc giữa hai vecto và là 180o.

Mà góc có số đo bằng 180o là góc bẹt.

Chọn câu D

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể xác định được góc giữa 2 vecto. Đồng thời vận dụng các phương pháp tìm góc giữa 2 vecto vào việc giải quyết những bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang