Hình tứ diện: Khái niệm và bài tập liên quan

Hình tứ diện là một nội dung về hình học được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy, hình tứ diện là gì? Trong hình tứ diện thường đề cập đến những vấn về liên quan nào? Để có thể trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Hình tứ diện là hình gì?

+ Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD.

+ Hình tứ diện còn được gọi ngắn gọn là tứ diện.

2. Một số đặc điểm của hình tứ diện

• Trong hình tứ diện ABCD có:

2.1. Hình tứ diện có bao nhiêu đỉnh?

+ Các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện.

2.2. Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?

+ Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD được gọi là các cạnh của tứ diện.

+ Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện.

Ví dụ: Trong hình tứ diện ABCD, đối diện với cạnh AD là cạnh BC.

2.3. Hình tứ diện có bao nhiêu mặt?

+ Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tứ diện.

+ Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Ví dụ: Trong hình tứ diện ABCD, đỉnh C là đỉnh đối diện với mặt ABD.

• Hình tứ diện ABCD có thể coi là hình chóp tam giác khi đã chỉ ra đâu là đỉnh.

Ví dụ: Khi hình tứ diện ABCD được viết là A.BCD thì đây là một hình chóp tam giác có đỉnh là A và có đáy là mặt phẳng (BCD).

• Vì hình tứ diện ABCD có thể coi là hình chóp tam giác khi đã chỉ ra đâu là đỉnh. Do đó, thể tích của hình tứ diện lúc này sẽ được tính giống như công thức tính thể tích hình chóp tam giác là:

V = .Sđáy.h

Trong đó: V là thể tích; Sđáy là diện tích đáy; h là chiều cao.

3. Hình tứ diện được gọi là hình tứ diện đều khi nào?

• Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
• Trong hình tứ diện đều, tất cả các cạnh đều bằng nhau.
• Giả sử hình tứ diện đều có cạnh là a (đvđd). Khi đó, thể tích hình tứ diện đều sẽ được tính theo công thức:

V = .

4. Bài tập về hình tứ diện

Bài 1: Số đỉnh của hình tứ diện ABCD là:

1. 2 đỉnh
2. 4 đỉnh
3. 6 đỉnh
4. 8 đỉnh

ĐÁP ÁN

Hình tứ diện có 4 đỉnh là: A, B, C, D.

Chọn câu B

Bài 2: Số cạnh của hình tứ diện ABCD là:

1. 10 cạnh
2. 8 cạnh
3. 6 cạnh
4. 4 cạnh

ĐÁP ÁN

Hình tứ diện ABCD có 6 cạnh là: AB, BC, CD, DA, CA, BD.

Chọn câu C

Bài 3: Trong hình tứ diện ABCD, cạnh đối diện với cạnh AB là:

1. Cạnh BC
2. Cạnh AD
3. Cạnh CD
4. A, B, C đều sai

ĐÁP ÁN

Trong hình tứ diện ABCD, cạnh đối diện với cạnh AB là cạnh CD. Do cạnh AB và cạnh CD là hai cạnh không có điểm chung.

Chọn câu C

Bài 4: Trong hình tứ diện ABCD, đỉnh B là đỉnh đối diện của:

1. Mặt ABC
2. Mặt ABD
3. Mặt BCD
4. Mặt ACD

ĐÁP ÁN

Đỉnh B là đỉnh đối diện của mặt ACD do đỉnh B không nằm trên mặt ACD.

Chọn câu D

Bài 5: Chúng ta có thể biết được điều gì khi hình tứ diện ABCD được viết là D.ABC?

1. Hình tứ diện ABCD có thể coi là hình chóp tam giác D.ABC có đỉnh là D
2. Hình tứ diện ABCD có thể coi là hình chóp tam giác D.ABC có đáy là mặt phẳng (ABC)
3. Hình tứ diện ABCD có thể coi là hình chóp tam giác D.ABC và có thể tích được tính bằng cách lấy diện tích tam giác ABC nhân với khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) rồi chia cho 3.
4. A, B, C đều đúng

ĐÁP ÁN

Chọn câu D

Bài 6: Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

1. Hình tứ diện đều có 4 đỉnh
2. Hình tứ diện đều có 6 cạnh
3. Hình tứ diện đều có 4 mặt
4. Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 4 mặt là những tam giác cân

ĐÁP ÁN

Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 4 mặt là những tam giác đều.

Chọn câu D

Bài 7: Hình tứ diện ABCD có thể tích là 9a3 (đvtt) và có diện tích tam giác BCD là 3a2 (đvdt). Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:

1. Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) là 3a (đvđd)
2. Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) là 9a (đvđd)
3. Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) là 6a (đvđd)
4. Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) là a (đvđd)

ĐÁP ÁN

Thể tích hình tứ diện ABCD chính là thể tích hình chóp tam giác A.BCD.

Ta có: VABCD = .SBCD.d(A, (BCD))

9a3 = .3a2.d(A, (BCD))

9a3 = a2.d(A, (BCD))

d(A, (BCD)) = 9a3 : a2

d(A, (BCD)) = 9a (đvđd)

Chọn câu B

Bài 8: Thể tích hình tứ diện ABCD là bao nhiêu khi khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là 4a (đvđd) và diện tích tam giác ABC là 12a2 (đvdt).

1. Thể tích tứ diện ABCD là 3a3 (đvtt)
2. Thể tích tứ diện ABCD là 16a3 (đvtt)
3. Thể tích tứ diện ABCD là 48a3 (đvtt)
4. Thể tích tứ diện ABCD là 12a3 (đvtt)

ĐÁP ÁN

Để tính thể tích tứ diện ABCD ta quy về tính thể tích hình chóp tam giác D.ABC.

VABCD = VD.ABC = .d(D, (ABC)).SABC = .4a.12a2 = 16a3 (đvtt)

Vậy, thể tích tứ diện ABCD là 16a3 (đvtt).

Chọn câu B

Bài 9: Trong một hình tứ diện đều có:

1. Tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau
2. Tất cả các mặt có diện tích bằng nhau
3. Cả A và B đều sai
4. Cả A và B đều đúng

ĐÁP ÁN

Chọn câu D

Bài 10: Hình tứ diện đều có độ dài cạnh là 3a (đvđd). Khi đó, thể tích của hình tứ diện đều này là:

1. V = a3 (đvtt)
2. V = a3 (đvtt)
3. V = a3 (đvtt)
4. Cả A, B, C đều sai

ĐÁP ÁN

Thể tích hình tứ diện đều có cạnh 3a là:

V = (đvtt)

Chọn câu C

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ một số nội dung về hình tứ diện. Đồng thời áp dụng vào việc giải quyết các bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang