Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Cho đường tròn ( C) tâm I( a;b) bán kính R và đường thẳng d.

Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) khi và chỉ khi : d(I, d)= R

+ Trục tung có phương trình x= 0 nên để đường tròn tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi:

= R hay R = |a|

+ Trục hoành có phương trình y= 0 để đường tròn tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:

= R hay R = |b|.

+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ khi và chỉ khi:

R = |a| = |b|.

Chú ý: Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0 và điểm M(x0; y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 (1). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Phương trình ( 1) là phương trình đường tròn, với mọi giá trị của m.

B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc với trục tung.

C. Đường tròn ( 1) tiếp xúc với các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2.

D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2.

Hướng dẫn giải

+ Xét x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 có a = 2; b = -m và c = m2

⇒ a2 + b2 - c = 4 + m2 - m2 = 4 > 0 với mọi m nên A và D đúng.

+ Vì a = R = 2 nên B đúng.

+ Từ đó suy ra C sai, vì đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox khi và chỉ khi

|b| = |m| = 2 ⇔ m = ±2

Chọn C .

Ví dụ 2: Đường tròn (C) tâm I( 4;3) và tiếp xúc với đườngthẳng ∆: 3x - 4y + 5 = 0 có phương trình là

A. (x - 4)2 + (y - 3) 2 = 2. B. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.

C. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4. D. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 3

Lời giải

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính đường tròn .

⇒ (C) có bán kính R = d(I, ∆) = = 1.

Do đó, (C) có phương trình : (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0) . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) có bán kính R =

B. ( C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b2 = R2.

C. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R.

D. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi b2 = c.

Hướng dẫn giải

Xét phương án C:

( C) tiếp xúc với trục tung Oy khi và chỉ khi: d(I, y'oy) = R ⇔ |a| = R.

Do đó đáp án sai vì nếu a = - 9 ⇒ R = -9 < 0 (vô lý)

Chọn C.

Ví dụ 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?Đường tròn (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 tiếp xúc với trục tung.Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). D. Không có.

Hướng dẫn giải

+ Xét đường tròn : (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 9 có a = -2; b = 3 và R = 3

Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox nên ( I) sai.

+ Xét đường tròn: ( x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 có a = 3; b = -3 và R = 3

Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (II) đúng.

Chọn B.

Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn x2 + y2 - 9 = 0 ?

A. m = ±15 B. m = ±√3 C. m = - 3 D. m = 3

Hướng dẫn giải

Đường tròn x2 + y2 - 9 = 0 có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.

Khoảng cách từ tâm I(0; 0) đến đường thẳng (d) là

d(I; d) =

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: d(I;d)= R

⇔ = 3 ⇔ |m| = 15 nên m = ± 15

Chọn A.

Ví dụ 6: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y - 4√2 = 0 . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?

A. 4√2 B. 4 C. 2 D. 8

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng (d) là

d(O; d) = = 4

Để đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d thì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R.

⇒ Bán kính đường tròn ( C): R = 4.

Chọn B.

Ví dụ 7: Nếu đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 3)2 = R2 tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 thì giá trị của R là:

A. 2√2 B. C. √5 D. √2

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 3)2 = R2 có tâm I (1; 3) bán kính R.

Đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) khi

R = d( I; d) = =

Chọn B.

Ví du 8. Đường tròn (C) có tâm I( 2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng(d): 6x - 8y + 22 = 0 có phương trình là:

A. ( x + 2)2 + (y - 3)2 = 4 B. (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1

C. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 9 D. Tất cả sai

Lời giải

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

d(I; d) = = 1

Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R= 1

⇒ Phương trình đường tròn( C): (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1

Chọn B.

Ví dụ 9 . Đường tròn x2 + y2 + 4y = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

A. x - 2 = 0 B. x + y - 3 = 0 C. x + 2 = 0 D. Trục hoành.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( 0; -2) , bán kính R = 2.

- Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ1) : x - 2 = 0

d(I, Δ1) = = 2 = R ⇒ (C) tiếp xúc (Δ1)

- Tương tự: ( C) tiếp xúc (Δ2): x + 2 = 0; ( C) tiếp xúc trục hoành Ox: y= 0

- Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ3) :

d(I,Δ3)= ≠ R

⇒ ( C ) không tiếp xúc (Δ3)

Chọn B.

Ví dụ 10. Đường tròn (C) đi qua điểm M(2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy có phương trình là:

A. (x + 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặc (x + 5)2 + (y - 5)2 = 25

B. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

C. ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

D. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặc ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Lời giải

Gọi tâm đường tròn là I = ( a; b)

Do đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R = d(I; Ox) = d(I; Oy)

⇔ R = |a| = |b|.

Vì đường tròn đi qua điểm M(2; -1) thuộc góc phần tư thứ tư (IV) nên a = - b và a > 0

⇒ I( a; -a)

Ta có: R = IM ⇔ R2 = IM2 ⇔ a2 = ( a - 2)2 + (-a + 1)2

⇔ a2 = a2 - 4a + 4 + a2 - 2a + 1

⇔ a2 - 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5

+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I (1; -1) và bán kính R = 1

⇒ Phương trình ( C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1.

+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I (5; -5) và bán kính R = 5

⇒ Phương trình đường tròn là ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Chọn D.

Ví dụ 11 : Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): x2 + y2 - 9 = 0.

A. m = -3 B. m = 3 và m = -3 . C. m = 3 D. m = 15 và m = -15

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(0; 0) và bán kính R = 3.

Để ∆ tiếp xúc ( C) khi và chỉ khi :

d(I, Δ) = R ⇔ = 3 ⇔

Chọn D.

Ví dụ 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?

A. x2 + y2 - 2x - 10y = 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0

C. x2 + y2 - 10y + 1= 0 D. x2 + y2 - 5 = 0

Hướng dẫn giải

Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Ox: y = 0 là bằng R.

⇔ |b|=R

+ Phương án A: là đường tròn có a = 1; b = 5 và c = 0 nên bán kính đường tròn làR = = √26

⇒ |b| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với trục Ox.

+ Phương án B là đường tròn có a = -3; b = và c = 9

⇒ R =

⇒ |b| = R nên đường tròn này tiếp xúc với trục Ox.

+ Tương tự các đường tròn ở phương án C và D không tiếp xúc với trục Ox

Chọn B.

Ví dụ 13. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?

A. x2 + y2 - 10y + 1= 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y - 1 = 0

C. x2 + y2 - 2x = 0 D. x2 + y2 - 5 = 0

Hướng dẫn giải

Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Oy: x= 0 là bằng R.

⇔ |a| = R.

+ Phương án A: Là đường tròn có a = 0; b = 5 và c = 1 nên bán kính

R = = √26

⇒|a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.

+ Phương án B: là đường tròn có a = -3; b = - và c = - 1 nên

R =

⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.

+ Phương án C: là đường tròn có a = 1; b = 0; c = 0 nên R = 1

⇒ |a| = R nên đường tròn này tiếp xúc với Oy.

Chọn C.

Ví dụ 14: Cho đường tròn (C); x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (a) : x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0 B. x + 2y = 2 và x + 2y + 8 = 0

C. x + 2y + 2 = 0 và x + 2y - 8 = 0 D. tất cả sai

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = = √5.

Do tiếp tuyến d song song với đường thẳng a nên d có dạng: x + 2y - m = 0

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi:

d(I, d) = R ⇔ = √5 ⇔ |m-5|=5

Chọn A.

Ví dụ 15. Đường tròn ( C) có tâm I( -2; - 3) và tiếp xúc với đường thẳng(d): 3x - 4y - 1 = 0 có phương trình là:

A. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4

C. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D. ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 4

Lời giải

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

d(I; d) = = 1

Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R = 1

⇒ Phương trình đường tròn( C):

(x + 2)2 + (y + 3)2 = 1

Chọn A.

Ví dụ 16. Đường tròn (C) tâm I( -4; 3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là

A. x2 + y2 - 4x + 3y + 1 = 0. B. (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.

C. (x - 4)2 + (y + 3)2 = 9. D. x2 + y2 + 8x - 6y + 1 = 0.

Lời giải

Do đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy và có tâm I( -4; 3) nên:

a = - 4; b = 3 và R = |a| =4.

Do đó, (C) có phương trình: (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.

Chọn B.