Số thực là gì?

Số thực là gì, tập hợp số thực gồm những số nào? Mời các bạn đọc bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về kiến thức toán học quan trọng này nhé.

1. Số thực là gì?

• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Ví dụ
• Tập số hữu tỉ ký hiệu là
• Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ:
• Tập số vô tỉ được ký hiệu là

Ví dụ:

2. Trục số thực

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

• Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
• Chỉ có tập hợp số thực mới lấp đầy trục số.

3. So sánh các số thực

Ví dụ: Điền một chữ số thích hợp vào chỗ vuông:

a) -7,5(...)8 > -7,513b) -3,02 < -3,(...)1c) -0,4(...)854 < -0,49826d) -1,(...)0765 < -1,892

Hướng dẫn giải

a) -7,5(0)8 > -7,513

b) -3,02 < -3,(0)1

c) -0,4(9)854 < -0,49826

d) -1,(9)0765 < -1,892

Ví dụ: Sắp xếp các số thực: theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số thực theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Với a, b là hai số thực dương nếu a > b thì b^{2}" width="51" height="15" data-type="2" data-latex="a^{2} > b^{2}" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%3E%0Ab%5E%7B2%7D">

Hướng dẫn giải

Nếu a > b thì b^{2}" width="51" height="15" data-type="2" data-latex="a^{2} > b^{2}" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%3E%0Ab%5E%7B2%7D">

a, b là hai số thực dương nên a + b > 0

Nếu a > b thì a - b > 0

Xét tích

Vì 0, a - b > 0" width="132" height="17" data-type="0" data-latex="a + b > 0, a - b > 0" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%20%2B%20b%20%3E%200%2C%20a%20%E2%80%93%20b%20%3E%200"> nên 0" width="120" height="20" data-type="0" data-latex="(a + b)(a - b) > 0" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=(a%20%2B%20b)(a%20%E2%80%93%20b)%20%3E%200"> hay a2 - b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. Tính chất của tập số thực

Trong tập hợp , ta cũng định nghĩa các phép toán cộng trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc…Và trong các phép toán các số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

- Tức là với các phép tính trên cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp như trên các tập số khác. Và điều đó tương tự với các phép trừ, nhân, chia…

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

Hướng dẫn giải

Ví dụ: Tìm x, biết:

Hướng dẫn giải

4. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Tổng quát:

• Nếu
• Nếu
• Nếu
• Nếu

Cụ thể:

Một vài tính chất

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

Tổng quát:

- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

Tổng quát: và

- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Tổng quát: Nếu |b|" width="147" height="16" data-type="2" data-latex="a < b < 0 Rightarrow |a| > |b|" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%20%3C%20b%20%3C%200%0A%5CRightarrow%20%7Ca%7C%20%3E%20%7Cb%7C">

- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

Tổng quát: Nếu

- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

5. Bài tập ví dụ về số thực

Ví dụ 1: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):

3 …. Q ; 3 …. R ; 3… I ; -2,53… Q;

0,2(35) …. I ; N …. Z ; I …. R.

Hướng dẫn

a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ I ; -2,53 ∈ Q

b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂ R

Ví dụ 2: Hãy tìm các tập hợp

a) Q ∩ I ;b) R ∩ I.

Hướng dẫn

a) Q ∩ I = Ø ;b) R ∩ I = I.

Ví dụ 3: Điền chữ số thích hợp vào (…)

a) - 3,02 < - 3, … 1

b) - 7,5 … 8 > - 7,513

c) - 0,4 … 854 < - 0,49826

d) -1, … 0765 < - 1,892

Hướng dẫn

a) - 3,02 < - 301b) - 7,508 > - 7,513 ;c) - 0,49854 < - 0,49826 ;d) -1,90765 < - 1,892.

Ví dụ 4: Tìm x, biết:

3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9;

Hướng dẫn

3,2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2,7 = - 4,9.

2.x = - 4,9 - 2,7

2.x = - 7,6

x = -7,6 : 2

x = -3,8

Ngoài số thực, các bạn có thể tìm hiểu thêm về các định nghĩa khác trong toán học như số chính phương, số vô tỉ, số hữu tỉ, số nguyên tố, số tự nhiên...