$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có phương trình là $y=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}.$
Chứng minh. Gọi $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}'=0Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0.$
Lấy $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ chia cho $3a{{x}^{2}}+2bx+c$ ta được
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=left( dfrac{x}{3}+dfrac{b}{9a} right)left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c right)+dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}.$
Do đó $y=left( dfrac{x}{3}+dfrac{b}{9a} right){y}'+dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}.$
Vì ${y}'({{x}_{1}})={y}'({{x}_{2}})=0Rightarrow {{y}_{1}}=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right){{x}_{1}}+d-dfrac{bc}{9a};{{y}_{2}}=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right){{x}_{2}}+d-dfrac{bc}{9a}.$
Điều đó chứng tỏ $A,Bin d:y=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}.$ Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ minh hoạ:
Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}+3(m-3){{x}^{2}}-3m+11$ có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm $N(2;-1)$ thẳng hàng là
A. $m=dfrac{9-sqrt{33}}{4};m=dfrac{9+sqrt{33}}{4}.$
C. $m=dfrac{27-sqrt{33}}{6};m=dfrac{27+sqrt{33}}{6}.$
B. $m=3;m=6.$
D. $m=dfrac{27-sqrt{249}}{12};m=dfrac{27+sqrt{249}}{12}.$ .
Lời giải. Ta có ${y}'=0Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6(m-3)x=0Leftrightarrow x=0;x=3-m.$ Hàm số có hai điểm cực trị $Leftrightarrow 3-mne 0Leftrightarrow mne 3.$ Loại đáp án B.
Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
[y=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}=-{{(m-3)}^{2}}x-3m+11.]
Vì điểm $N(2;-1)$ thuộc đường thẳng này nên $-2{{(m-3)}^{2}}-3m+11=-1Leftrightarrow m=dfrac{9pm sqrt{33}}{4}.$ Chọn đáp án A.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+left( m-3 right)x+m$ có hai điểm cực trị và điểm $Mleft( 9;-5 right)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.
A. $m=2.$
B. $m=-5.$
C. $m=-1.$
D. $m=3.$
Giải. Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ là $y=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}$
https://vted.vn/tin-tuc/vtedvn-phuong-trinh-duong-thang-noi-hai-diem-cuc-tri-cua-do-thi-ham-da-thuc-bac-ba-4736.html
Áp dụng $d:y=dfrac{2}{3}left( m-3-dfrac{4}{3} right)x+m-dfrac{2left( m-3 right)}{9}$
$Mleft( 9;-5 right)in dRightarrow -5=dfrac{2}{3}left( m-3-dfrac{4}{3} right)times 9+m-dfrac{2left( m-3 right)}{9}Leftrightarrow m=3.$ Chọn đáp án D.
Câu 3. Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết ${f}'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,n$ sao cho đường thẳng đi qua hai điểm $A(m;f(m)),B(n;f(n))$ đi qua gốc toạ độ $O.$ Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=abc+ab+c$ là ?
A. $-9.$
B. $-dfrac{25}{9}.$
C. $-dfrac{16}{25}.$
D. $1.$
Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua hai điểm $AB:y=dfrac{2}{3}left( b-dfrac{{{a}^{2}}}{3} right)x+c-dfrac{ab}{9}.$ Vì $Oin AB$ nên $c-dfrac{ab}{9}=0.$ Vì vậy $S=dfrac{1}{9}{{(ab)}^{2}}+dfrac{10}{9}ab=dfrac{1}{9}{{left( ab+5 right)}^{2}}-dfrac{25}{9}ge -dfrac{25}{9}.$ Chọn đáp án B.
Câu 4. Khoảng cách từ điểm $P(3;1)$ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $sqrt{5}.$
B. $sqrt{2}.$
C. $2sqrt{5}.$
D. $2sqrt{2}.$
Lời giải chi tiết. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị $A,B$ của đồ thị hàm số đã cho là
[y=dfrac{2}{3}left( c-dfrac{{{b}^{2}}}{3a} right)x+d-dfrac{bc}{9a}=-dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+dfrac{2({{m}^{2}}+1)}{3}.]
Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định $I(1;0)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Vì vậy $d(P,AB)le PI=sqrt{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $PIbot AB.$
Đường thẳng $AB$ có hệ số góc ${{k}_{1}}=-dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1).$ Đường thẳng $PI$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=dfrac{{{y}_{P}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{I}}}=dfrac{1-0}{3-1}=dfrac{1}{2}.$
Vậy $PIbot ABLeftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1Leftrightarrow -dfrac{2}{3}({{m}^{2}}+1).dfrac{1}{2}=-1Leftrightarrow {{m}^{2}}=2Leftrightarrow m=pm sqrt{2}.$ Chọn đáp án A.
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
